Rabu, 20 Oktober 2021

Latihan Soal Permutasi Beserta Pembahasannya

         Comment  
Postingan Blog kali ini bermaksud untuk menyuguhkan Pembahasan Soal Permutasi.

 Permutasi yaitu susunan (atau pemesanan) dari satu set objek dalam berbagai urutan-urutan yang berlawanan tanpa anda pengulangan (dilarang ada objek yang serupa walaupun di posisi yang berbeda).

Permutasi digunakan dikala kita mengkalkulasikan dengan mengamati urutan. Jika urutannya tidak masalah maka kita bisa memakai kombinasi.

Jumlah permutasi dari n objek yang diambil r pada suatu waktu, di mana 0 n,r) dengan rumusnya selaku berikut :
P(n,r) =
n! / (n-r)!

Contoh Permutasi

Plat nomor dimulai dengan tiga huruf. Jika abjad yang mungkin yaitu A, B, C, D dan E, berapa banyak permutasi yang berlawanan dari aksara-abjad ini mampu dibuat bila tidak ada abjad yang digunakan lebih dari sekali ?

Cara-Cara Penyelesaiannya
1. Menggunakan nalar lazim (tanpa rumus)

Untuk aksara pertama, ada 5 opsi yang memungkinkan. Setelah aksara tersebut diseleksi, ada 4 opsi yang memungkinkan. Akhirnya, tinggal 3 opsi abjad yang memungkinkan.

Sehingga kita peroleh :
5 × 4 × 3 = 60

2. Menggunakan Rumus Permutasi

Dari lima (5) abjad (A, B, C, D, E) yang diambil 3, maka banyaknya cara yakni :
P(n,r) =
n! / (n-r)!

P(5,3) =
5! / (5-3)!

P(5,3) =
5 x 4 x 3 x 2! / 2!
= 60


Latihan Soal Permutasi

1. Soal Permutasi Pertama

Dalam berapa banyak cara 4 resistor berbeda mampu diatur secara seri ?

Pembahasan
Karena ada 4 resitor, banyak cara dalam menyusunnya yakni :
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara


2. Soal Permutasi Kedua

Dalam suatu grup yang berisikan 4 orang akan menentukan Ketua dan Sektretaris. Ada berapa alternatif susunan Ketua dan Sektretaris yang mampu diseleksi ?

Pembahasan
P(n,r) =
n! / (n-r)!

P(6,2) =
4! / (4-2)!

P(11,4) =
4.3.2! / 2!
= 12 cara


3. Soal Permutasi Ketiga

Berapa banyak plat nomor yang berlawanan untuk mobil yang dapat dibentuk bila setiap plat nomor berisi empat angka 0 hingga 9 diikuti oleh huruf A hingga Z, dengan ketentuan (perkiraan) bahwa :
(A) tidak ada pengulangan digit yang diizinkan.
(B) pengulangan angka diizinkan .
Pembahasan
A. Tidak ada pengulangan digit yang diizinkan

Ada 10 kemungkinan digit (0,1,2,…, 9) dan kita perlu mengambilnya 4 sekaligus. Ada 26 huruf dalam alfabet.

Tanpa pengulangan, kita memiliki:
P(10,4) =
10! / (10-4)!

P(10,4) =
10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!
= 131.040

B. Pengulangan angka diizinkan

Dengan pengulangan, kita memiliki:
(jumlah digit 0000 sampai 9999) × Jumlah abjad alfabet
⇔ 10.000 x 26
⇔ 260.000


4. Soal Permutasi Keempat

Dalam berapa banyak cara seorang Presiden, Bendahara dan Sekretaris dipilih dari antara 7 kandidat ?

Pembahasan
7 calon akan diseleksi 3 orang selaku Presiden, Bendahara dan Sekretaris.

P(n,r) =
n! / (n-r)!

P(7,3) =
7! / (7-3)!

P(7,3) =
7 x 6 x 5 x 4! / 4!
= 210

Jadi terdapat sebanyak 210 cara


5. Soal Permutasi Kelima

Jika sebuah instruksi pos berisi 5 digit. Berapa banyak arahan pos yang mampu dibentuk dengan angka 0–9 jika tidak ada digit yang digunakan lebih dari sekali dan digit pertama bukan 0 ?

Pembahasan
Dari soal, 0 tidak diizinkan menempati digit pertama untuk instruksi pos.
Sehingga untuk posisi pertama, ada 9 opsi yang memungkinkan (alasannya adalah 0 tidak diperbolehkan). Untuk 4 posisi selanjutnya, kita menentukan dari 9 digit.

9 x P(9,4) = 9 x
9! / (9-4)!

9 x P(7,3) = 9 x
9 x 8 x 7 x 6 x 5! / 5!
= 27216

Cara lain (pendekatan logika)
Untuk posisi pertama, ada 9 opsi yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Setelah nomor itu dipilih, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 sekarang diperbolehkan). Kemudian, ada 8 opsi yang mungkin, 7 opsi yang mungkin dan 6 pilihan yang mungkin. Jadi

9 × 9 × 8 × 7 × 6 = 27.216


6. Soal Permutasi Keenam

Dalam suatu kelas akan dibuat panitia sebanyak 2 orang (ketua dan wakil ketua). Jika calon panitia ada 6 orang adalah: a, b, c, d, e, dan f. Tentukan banyaknya cara yang terpilih selaku panitia ?

Pembahasan
P(n,r) =
n! / (n-r)!

P(6,2) =
6! / (6-2)!

P(11,4) =
6 x 5 x 4! / 4!
= 30 cara


7. Soal Permutasi Ketujuh

Berapa banyak cara dapat mengendalikan 6 anak wanita dan 2 anak laki-laki secara berturut-turut dengan asumsi selaku berikut : (A) Tanpa batas-batas.
(B) Kedua anak laki-laki itu bersama.
(C) Kedua anak lelaki itu tidak bersama.

Pembahasan
(A) Tanpa batas-batas

Hanya 8 orang yang diatur secara berurutan: 8! = 40.320

(B) Kedua anak pria bareng

Anggap 2 anak laki-laki selaku satu "unit" dan ada 7 "unit" untuk dikelola.
Sehingga kita peroleh : 7! = 5040 cara.

Anak laki-laki mampu dikelola dalam 2! = 2 cara, jadi banyaknya cara yang mampu dikontrol adalah :
7! × 2! = 10.080

(C) Kedua anak laki-laki tidak bersama

Banyaknya cara menertibkan agar anak pria tidak bersama ialah :
40.320 − 10.080 = 30.240


8. Soal Permutasi Kedelapan

Dalam suatu tim olahraga terdapat 10 orang siswa yang dicalonka untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang yang boleh menjadi pemain utama. Berapa banyak cara dalam memilih pemain utama

Pembahasan
P(n,r) =
n! / (n-r)!

P(10,5) =
10! / (10-5)!

P(10,5) =
10 x 9 x 8 x 7 x 65! / 5!
= 30.240 cara


9. Soal Permutasi Kesembilan

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang mampu terjadi kalau 8 orang ditawarkan 4 dingklik, sedangkan salah seorang dari padanya senantiasa duduk dikursi tertentu ?

Pembahasan
Jika salah seorang senantiasa duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

P(7,3) =
7! / (7 - 3)!

P(7,3) =
7! / 4!

P(7,3) =
7 x 6 x 5 x4! / 4!
= 210 cara


10. Soal Permutasi Kesepuluh

Ada berapa banyak cara yang mampu dikelola dari kata 'MATHEMATICS' dengan ketentuan aksara-huruf vokal harus selalu bareng ?

Pembahasan
Kata 'MATEMATIKA' mempunyai 11 aksara. Kata-kata tersebut mempunyai abjad vokal 'A', 'E', 'A', 'I' dan 4 vokal ini harus senantiasa bersama. Oleh karena itu ke-4 huruf vokal ini dapat dikelompokkan dan dianggap sebagai satu abjad sehingga menjadi : MTHMTCS (AEAI).

Oleh alasannya itu kita mampu menilai total huruf selaku 8. Tetapi dalam 8 karakter ini, 'M' terjadi 2 kali, 'T' terjadi 2 kali tetapi sisa hurufnya berlawanan.

Oleh sebab itu, banyaknya cara untuk menertibkan abjad-aksara tersebut :
⇔
8! / (2!)(2!)
=
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!(2 x 1)
= 10080

Dalam 4 karakter vokal (AEAI), 'A' muncul 2 kali dan sisanya dari vokal berbeda.

Banyaknya cara untuk mengendalikan aksara vokal itu sendiri yaitu :
⇔
4! / 2!
=
4 x 3 x 2! / 2!
= 12

Sehingga banyaknya cara yang mungkin dikontrol :
⇔ 10080 × 12 = 120960


11. Soal Permutasi Kesebelas

Ada berapa banyak kata yang mampu terbentuk dari kata "RUMAH" ?

Pembahasan
Kata 'RUMAH' memiliki 5 karakter dan semua 5 abjad ini berlainan.

Total jumlah kata yang dapat dibuat dengan menggunakan semua 5 huruf tersebut ialah :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata


12. Soal Permutasi Keduabelas

Ada berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata "LEADER" ?

Pembahasan
Kata 'LEADER' mempunyai 6 karakter.

Tetapi dalam 6 abjad ini, 'E' muncul 2 kali dan sisanya yakni aksara yang berbeda.

Oleh sebab itu, banyaknya kata yang dapat dibuat :
⇔
6! / 2!
=
6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!
= 360 buah kata


13. Soal Permutasi Ketigabelas

Ada berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari kata 'ENGINEERING'?

Pembahasan
Kata 'ENGINEERING' mempunyai 11 aksara.

Tetapi dalam 11 karakter ini, 'E' muncul 3 kali, 'N' timbul 3 kali, 'G' muncul 2 kali, 'I' muncul 2 kali dan sisa hurufnya berlawanan.

Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibuat :
⇔
11! / (3!)(3!)(2!)(2!)

⇔
11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! / 3!(3 x 2 x 1)(2 x 1)(2 x 1)
= 277200 buah kata

Sumber https://www.kontensekolah.com/


EmoticonEmoticon