Latihan Soal Permutasi Beserta Pembahasannya

Latihan Soal Permutasi Beserta Pembahasannya

Admin   Oktober 20, 2021   Comment  

Postingan Blog kali ini bermaksud untuk menyuguhkan Pembahasan Soal Permutasi.

Permutasi yaitu susunan (atau pemesanan) dari satu set objek dalam berbagai urutan-urutan yang berlawanan tanpa anda pengulangan (dilarang ada objek yang serupa walaupun di posisi yang berbeda).

Permutasi digunakan dikala kita mengkalkulasikan dengan mengamati urutan. Jika urutannya tidak masalah maka kita bisa memakai kombinasi.

Jumlah permutasi dari n objek yang diambil r pada suatu waktu, di mana 0 n,r) dengan rumusnya selaku berikut :

P(_n,r) =

n! / (n-r)!

Contoh Permutasi

Plat nomor dimulai dengan tiga huruf. Jika abjad yang mungkin yaitu A, B, C, D dan E, berapa banyak permutasi yang berlawanan dari aksara-abjad ini mampu dibuat bila tidak ada abjad yang digunakan lebih dari sekali ?

Cara-Cara Penyelesaiannya

1. Menggunakan nalar lazim (tanpa rumus)

Untuk aksara pertama, ada 5 opsi yang memungkinkan. Setelah aksara tersebut diseleksi, ada 4 opsi yang memungkinkan. Akhirnya, tinggal 3 opsi abjad yang memungkinkan.

Sehingga kita peroleh :
5 × 4 × 3 = 60

2. Menggunakan Rumus Permutasi

Dari lima (5) abjad (A, B, C, D, E) yang diambil 3, maka banyaknya cara yakni :
P(_n,r) =

n! / (n-r)!

P(_5,3) =

5! / (5-3)!

P(_5,3) =

5 x 4 x 3 x 2! / 2!

= 60

Latihan Soal Permutasi

1. Soal Permutasi Pertama

---

Dalam berapa banyak cara 4 resistor berbeda mampu diatur secara seri ?

Pembahasan

Karena ada 4 resitor, banyak cara dalam menyusunnya yakni :
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

2. Soal Permutasi Kedua

---

Dalam suatu grup yang berisikan 4 orang akan menentukan Ketua dan Sektretaris. Ada berapa alternatif susunan Ketua dan Sektretaris yang mampu diseleksi ?

Pembahasan

P_(n,r) =

n! / (n-r)!

P_(6,2) =

4! / (4-2)!

P_(11,4) =

4.3.2! / 2!

= 12 cara

3. Soal Permutasi Ketiga

---

Berapa banyak plat nomor yang berlawanan untuk mobil yang dapat dibentuk bila setiap plat nomor berisi empat angka 0 hingga 9 diikuti oleh huruf A hingga Z, dengan ketentuan (perkiraan) bahwa :
(A) tidak ada pengulangan digit yang diizinkan.
(B) pengulangan angka diizinkan .
Pembahasan

A. Tidak ada pengulangan digit yang diizinkan

Ada 10 kemungkinan digit (0,1,2,…, 9) dan kita perlu mengambilnya 4 sekaligus. Ada 26 huruf dalam alfabet.

Tanpa pengulangan, kita memiliki:
P(_10,4) =

10! / (10-4)!

P(_10,4) =

10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!

= 131.040

B. Pengulangan angka diizinkan

Dengan pengulangan, kita memiliki:
(jumlah digit 0000 sampai 9999) × Jumlah abjad alfabet
⇔ 10.000 x 26
⇔ 260.000

4. Soal Permutasi Keempat

---

Dalam berapa banyak cara seorang Presiden, Bendahara dan Sekretaris dipilih dari antara 7 kandidat ?

Pembahasan

7 calon akan diseleksi 3 orang selaku Presiden, Bendahara dan Sekretaris.

P(_n,r) =

n! / (n-r)!

P(_7,3) =

7! / (7-3)!

P(_7,3) =

7 x 6 x 5 x 4! / 4!

= 210

Jadi terdapat sebanyak 210 cara

5. Soal Permutasi Kelima

---

Jika sebuah instruksi pos berisi 5 digit. Berapa banyak arahan pos yang mampu dibentuk dengan angka 0–9 jika tidak ada digit yang digunakan lebih dari sekali dan digit pertama bukan 0 ?

Pembahasan

Dari soal, 0 tidak diizinkan menempati digit pertama untuk instruksi pos.
Sehingga untuk posisi pertama, ada 9 opsi yang memungkinkan (alasannya adalah 0 tidak diperbolehkan). Untuk 4 posisi selanjutnya, kita menentukan dari 9 digit.

9 x P(_9,4) = 9 x

9! / (9-4)!

9 x P(_7,3) = 9 x

9 x 8 x 7 x 6 x 5! / 5!

= 27216

Cara lain (pendekatan logika)
Untuk posisi pertama, ada 9 opsi yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Setelah nomor itu dipilih, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 sekarang diperbolehkan). Kemudian, ada 8 opsi yang mungkin, 7 opsi yang mungkin dan 6 pilihan yang mungkin. Jadi

9 × 9 × 8 × 7 × 6 = 27.216

6. Soal Permutasi Keenam

---

Dalam suatu kelas akan dibuat panitia sebanyak 2 orang (ketua dan wakil ketua). Jika calon panitia ada 6 orang adalah: a, b, c, d, e, dan f. Tentukan banyaknya cara yang terpilih selaku panitia ?

Pembahasan

P_(n,r) =

n! / (n-r)!

P_(6,2) =

6! / (6-2)!

P_(11,4) =

6 x 5 x 4! / 4!

= 30 cara

7. Soal Permutasi Ketujuh

---

Berapa banyak cara dapat mengendalikan 6 anak wanita dan 2 anak laki-laki secara berturut-turut dengan asumsi selaku berikut : (A) Tanpa batas-batas.
(B) Kedua anak laki-laki itu bersama.
(C) Kedua anak lelaki itu tidak bersama.

Pembahasan

(A) Tanpa batas-batas

Hanya 8 orang yang diatur secara berurutan: 8! = 40.320

(B) Kedua anak pria bareng

Anggap 2 anak laki-laki selaku satu "unit" dan ada 7 "unit" untuk dikelola.
Sehingga kita peroleh : 7! = 5040 cara.

Anak laki-laki mampu dikelola dalam 2! = 2 cara, jadi banyaknya cara yang mampu dikontrol adalah :
7! × 2! = 10.080

(C) Kedua anak laki-laki tidak bersama

Banyaknya cara menertibkan agar anak pria tidak bersama ialah :
40.320 − 10.080 = 30.240

8. Soal Permutasi Kedelapan

---

Dalam suatu tim olahraga terdapat 10 orang siswa yang dicalonka untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang yang boleh menjadi pemain utama. Berapa banyak cara dalam memilih pemain utama

Pembahasan

P_(n,r) =

n! / (n-r)!

P_(10,5) =

10! / (10-5)!

P_(10,5) =

10 x 9 x 8 x 7 x 65! / 5!

= 30.240 cara

9. Soal Permutasi Kesembilan

---

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang mampu terjadi kalau 8 orang ditawarkan 4 dingklik, sedangkan salah seorang dari padanya senantiasa duduk dikursi tertentu ?

Pembahasan

Jika salah seorang senantiasa duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

P(7,3) =

7! / (7 - 3)!

P(7,3) =

7! / 4!

P(7,3) =

7 x 6 x 5 x4! / 4!

= 210 cara

10. Soal Permutasi Kesepuluh

---

Ada berapa banyak cara yang mampu dikelola dari kata 'MATHEMATICS' dengan ketentuan aksara-huruf vokal harus selalu bareng ?

Pembahasan

Kata 'MATEMATIKA' mempunyai 11 aksara. Kata-kata tersebut mempunyai abjad vokal 'A', 'E', 'A', 'I' dan 4 vokal ini harus senantiasa bersama. Oleh karena itu ke-4 huruf vokal ini dapat dikelompokkan dan dianggap sebagai satu abjad sehingga menjadi : MTHMTCS (AEAI).

Oleh alasannya itu kita mampu menilai total huruf selaku 8. Tetapi dalam 8 karakter ini, 'M' terjadi 2 kali, 'T' terjadi 2 kali tetapi sisa hurufnya berlawanan.

Oleh sebab itu, banyaknya cara untuk menertibkan abjad-aksara tersebut :
⇔

8! / (2!)(2!)

=

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!(2 x 1)

= 10080

Dalam 4 karakter vokal (AEAI), 'A' muncul 2 kali dan sisanya dari vokal berbeda.

Banyaknya cara untuk mengendalikan aksara vokal itu sendiri yaitu :
⇔

4! / 2!

=

4 x 3 x 2! / 2!

= 12

Sehingga banyaknya cara yang mungkin dikontrol :
⇔ 10080 × 12 = 120960

11. Soal Permutasi Kesebelas

---

Ada berapa banyak kata yang mampu terbentuk dari kata "RUMAH" ?

Pembahasan

Kata 'RUMAH' memiliki 5 karakter dan semua 5 abjad ini berlainan.

Total jumlah kata yang dapat dibuat dengan menggunakan semua 5 huruf tersebut ialah :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata

12. Soal Permutasi Keduabelas

---

Ada berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata "LEADER" ?

Pembahasan

Kata 'LEADER' mempunyai 6 karakter.

Tetapi dalam 6 abjad ini, 'E' muncul 2 kali dan sisanya yakni aksara yang berbeda.

Oleh sebab itu, banyaknya kata yang dapat dibuat :
⇔

6! / 2!

=

6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2!

= 360 buah kata

13. Soal Permutasi Ketigabelas

---

Ada berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari kata 'ENGINEERING'?

Pembahasan

Kata 'ENGINEERING' mempunyai 11 aksara.

Tetapi dalam 11 karakter ini, 'E' muncul 3 kali, 'N' timbul 3 kali, 'G' muncul 2 kali, 'I' muncul 2 kali dan sisa hurufnya berlawanan.

Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibuat :
⇔

11! / (3!)(3!)(2!)(2!)

⇔

11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! / 3!(3 x 2 x 1)(2 x 1)(2 x 1)

= 277200 buah kata

Sumber https://www.kontensekolah.com/

Memahami Perbedaan Permutasi Dan Kombinasi

Memahami Perbedaan Permutasi Dan Kombinasi

Admin   Oktober 21, 2021   Comment  

Blog dalam mata pelajaran matematika kali ini akan membicarakan wacana Perbedaan Permutasi dan Kombinasi.

Materi Permutasi dan Kombinasi yakni sebuah mekanisme dalam memilih banyak cara yang mampu dijalankan atas penyeleksian beberapa objek.

Seringkali dalam suatu soal kita menjadi bingung, metode apa yang mesti digunakan. Apakah harus memakai rancangan Permutasi atau Kombinasi.

Tentunya perbedaan yang kita tahu yaitu segi rumusnya (rumus permutasi berlainan dengan rumus variasi). Rumus mampu diterapkan bila kita telah dapat mengevaluasi soal, menggunakan rumus permutasi atau rumus variasi ?.

Nah dalam bahan kita akan coba kupas secara mendalam perbedaan kedua rancangan tersebut (permutasi dan kombinasi).

Permutasi

Permutasi yaitu sebuah mekanisme dalam menyatakan banyaknya cara dalam menyusun beberapa objek dengan mengamati "URUTAN".

Maksud dari mengamati "URUTAN" yakni kita dapat menyusun suatu kumpulan objek walaupun objek tersebut berada pada posisi lain. bertukar posisi.

A,B,C tidak sama dengan B,C,A dan C,A,B

Jika kita perhatikan : A,B,C, B,C,A dan C,A,B sama-sama mengandung objek A,B dan C dalam setiap kumpulan objek. Namun masing-masing objek tersebut saling berlawanan posisi. Inilah maksud yang dikatakan bahwa permutasi mengamati "URUTAN".

Apakah Anda Masih Bingung ???

Jika masih galau, mari kita pahami dari teladan berikut ini.

Contoh Permutasi
Dalam suatu kantong terdiri dari 3 kelereng yang masing-masing berwarna :

• Merah
• Hijau
• Biru

Tentukan berapa banyak cara dalam mengambil 2 kelereng secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan ?

Pembahasan
Diambil 2 kelereng dari 3 kelereng yang ada dengan dengan memperhatikan "URUTAN", maka banyak caranya ialah :

Merah Hijau    Merah Biru Hijau Merah    Hijau Biru Biru  Merah    Biru  Hijau

Dari jawaban di atas, terdapat 6 cara untuk mengambil 2 kelereng . Coba amati, Merah, Biru dan Biru, Merah dianggap kumpulan objek yang berlainan alasannya berlainan urutan atau posisinya. Inilah yang dinamakan Permutasi.

Jika cuma beberapa objek masih mudah bagi kita memilih banyaknya cara dengan memakai cara manual, namun jikalau objeknya banyak tentunya agak kerepotan. Untuk itu kita perlu menggunakan rumus permutas. Anda dapat menemukan tutorial rumus permutasi beserta latihan soal permutasi pada panduan berikut ini :

Rumus Permutasi Beserta Latihan Soal

Kombinasi

Kombinasi yaitu sebuah prosedur yang menyatakan banyaknya cara dalam menyusun beberapa objek tanpa mengamati urutan.

Jika permutasi mengamati urutan maka pada kombinasi tidak mengamati urutan.

Makara dikala ada ada objek yang cuma berlawanan posisi atau urutan, maka akan dianggap sama objeknya.

1,2,3 adalah sama dengan 2,3,1 dan 3,1,2

Tentunya kini sudah jelas perbedaan antara Permutasi dengan Kombinasi.

Sekarang mari kita perhatikan contoh lain dari kombinasi dimana soalnya sama seperti perkara permutasi di atas (pengambilan 2 kelereng dari 3 kelereng yang tersedia.

Contoh Kombinasi
Pada sebuah kantong terdapat 3 buah kelereng denga warna sebagai berikut :

• 1 Buah Kelereng Merah
• 1 Buah Kelereng Hijau
• 1 Buah Kelereng Biru

Ada berapa banyak cara dalam mengambil 2 kelereng secara acak dengan tidak mengamati urutan ?

Pembahasan
Tidak memperhatikan urutan berarti kalau ada kumpulan objek yang satu dengan kumpulan objek lainnya yang berlainan posisi akan dianggap sama alias satu kumpulan objek saja.

Dengan demikian banyaknya cara ialah selaku berikut :

Merah Hijau     Merah Biru Hijau Biru   

Jika kita tidak ada kumpulan objek antara satu dengan yang lain yang cuma bertukar posisi. Kumpulan objek Merah, Hijau dengan Merah, Biru dan Hijau, Biru tidak ada yang bertukar posisi.

Anda dapat mendapatkan bimbingan lebih lanjut tentang Kombinasi berupa rumus dan latihan soal pada bimbingan berikut ini :

Rumus Kombinasi Beserta Latihan Soalnya

Sumber https://www.kontensekolah.com/

Latihan Soal Variasi Beserta Pembahasannya

Latihan Soal Variasi Beserta Pembahasannya

Admin   Oktober 20, 2021   Comment  

Tujuan dari pembelajaran bahan matematika dalam Blog kali ini yaitu semoga kita mampu menyelesaikan atau menjawab Latihan Soal Kombinasi.

Kombinasi ialah susunan objek yang urutannya tidak penting . Tentunya hal ini berbeda dari permutasi di mana urutannya dianggap penting.

Bagi anda yang membutuhkan bahan soal permutasi yang dibarengi langkah pembahasan secara detil, silahkan datangi panduan yang berjudul : "Soal-Soal Permutasi Beserta Pembahasannya"

Sebagai pola, misalkan kita mengendalikan aksara A, B dan C. Dalam permutasi, pengaturan ABC dan ACB berbeda. Akan namun, dalam kombinasi, pengaturan ABC dan ACB ialah sama sebab urutannya tidak penting.

Jumlah kombinasi n objek yang diambil r pada sebuah waktu dituliskan sebagai C (n, r) dimana rumusnya ditulis sebagai berikut :

C(_n,r) =

P(n,r) / r!

=

n! / (n-r)!r!

Latihan Soal Kombinasi

1. Soal Kombinasi Pertama

---

Untuk mengikuti suatu persaingan renang, seorang pelatih harus menentukan 3 perenang dari 5 orang perenang.

Pembahasan

C(_n,r) =

n! / (n-r)!r!

C(_5,3) =

5! / (5-3)!3!

C(_5,3) =

5 x 4 x 3! / (2 x 1)3!

Pelatih mampu memilih para perenang dengan 10 cara

2. Soal Kombinasi Kedua

---

Apabila terdapat 4 warna : Merah, Kuning, Biru dan Hijau.Ada berapa variasi warna yang dihasilkan apabila sebuah warna dibuat dari adonan 3 warna yang berbeda ?

Pembahasan

C(_n,r) =

n! / (n-r)!r!

C(_4,3) =

4! / (4-3)!3!

C(_5,3) =

4 x 3! / (1)3!

= 4

Didapatkan 4 macam kombinasi warna yang dihasilkan

3. Soal Kombinasi Ketiga

---

Untuk mengikuti persaingan tenis, suatu sekolah telah mengseleksi 5 orang siswa yang ahli dalam tenis. Namun setiap sekolah cuma boleh mengantarkan 3 orang. Ada berapa banyak cara pemilihan yang mungkin jikalau dipilih 3 orang siswa untuk berpartisipasi dalam kompetisi tenis tersebut ?

Pembahasan

C(_n,r) =

n! / (n-r)!r!

C(_5,3) =

5! / (5-3)!3!

C(_5,3) =

5 x 4 x 3! / (2 x 1)3!

= 10

Kaprikornus 10 cara dalam melaksanakan pemilihan

4. Soal Kombinasi Keempat

---

Ada berapa banyak cara jikalau sebuah tim yang berisikan 5 orang dapat dibentuk dari total 10 orang sehingga dua orang tertentu harus dimasukkan dalam setiap tim ?

Pembahasan

Dua orang tertentu harus dimasukkan dalam setiap tim. Karena itu kita mesti menentukan sisa 5-2 = 3 orang dari 10-2 = 8 orang.

C(_n,r) =

n! / (n-r)!r!

C(_8,3) =

8! / (8-3)!3!

C(_5,3) =

8 x 7 x 6 x 5! / (5!)3 x 2 x 1

= 56

Kaprikornus banyaknya cara ialah : 56 cara

5. Soal Kombinasi Kelima

---

Jika ada 9 garis horizontal dan 9 garis vertikal di papan catur, berapa banyak persegi panjang yang bisa dibentuk di papan catur ?

Pembahasan

Jumlah persegi panjang yang mampu dibentuk dengan memakai garis m horisontal dan n garis vertikal yakni :
C_(m,2) x C_(n,2)

Di sini m = 9, n = 9

Jadi jumlah persegi panjang yang mampu dibuat :
⇔ C_(9,2) x C_(9,2)
⇔

9! / (9-2)!2!

x

9! / (9-2)!2!

⇔

9 x 8 x (7)! / (7)! 2 x 1

x

9 x 8 x (7)! / (7)! 2 x 1

⇔ 36 x 36 ⇔ 1296

6. Soal Kombinasi Keenam

---

Jika C_(n,8) = C_(n,27). Berapkah nilai n ?

Pembahasan

Jika C_(n,x) = C_(n,y) maka x = y atau (n - x) = y

C_(n,8) = C_(n,27) ⇔ n - 8 = 27
⇔ n = 27 + 8
⇔ n = 35

7. Soal Kombinasi Ketujuh

---

Dari 7 konsonan dan 4 vokal, berapa banyak kata dari 3 konsonan dan 2 vokal mampu dibuat ?

Pembahasan

Jumlah cara menentukan 3 konsonan dari 7 konsonan : C_(7,3)

Jumlah cara menentukan 2 vokal dari 4 vokal : C_(4,2)

Jadi jumlah cara menentukan 3 konsonan dari 7 konsonan dan 2 vokal dari 4 vokal :
⇔ C_(7,3) x C_(4,2)
⇔

7! / (7-3)!3!

x

4! / (4-2)!2!

⇔

7 x 6 x 5 x 4! / (4!)! 3 x 2 x 1

x

4 x 3 x 2! / (2 x 1) 2!

⇔ 35 x 6 ⇔ 210

8. Soal Kombinasi Kedelapan

---

Dalam suatu terdapat : 3 Bola Kuning, 4 Bola Biru dan 5 Bola Merah. Apabila diambil 3 bola secara acak dari dalam kotak tersebut. Berapakah kesempatan terambil 2 bola merah dan 1 bola biru ?

Pembahasan

Cara mengambil 2 bola merah :
C(_5,2) =

5! / (5-2)! . 2!

C(_5,2) =

5.4.3! / 3! . 2.1

C(_5,2) =

20 / 2

= 10 Cara

Cara mengambil 1 bola biru :
C(_4,1) =

4! / (4-1)! . 1!

C(_4,1) =

4 . 3! / 3! . 1

= 4 cara

Pengambilan bola sekaligus :
C(_12,3) =

12! / (12-3)! . 3!

C(_12,3) =

12.11.10.9! / 9! . 3.2.1

C(_12,3) =

1320 / 6

= 220 cara

Peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola biru :
P =

C(_5,2) . C(_4,1) / C(_12,3)

P =

10 . 4 / 220

P =

2 / 11

9. Soal Kombinasi Kesembilan

---

Ada berapa banyak cara dalam memilih jumlah himpunan bab dari himpunan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 yang memiliki 4 komponen ?

Pembahasan

C(_11,4) =

11! / (11-4)! . 4!

C(_11,4) =

11 x 9 x 8 x 7! / (7)! 4 x 3 x 2 x 1

= 330

Kaprikornus ada 330 cara dalam memilih jumlah himpunan bagian.

10. Soal Kombinasi Kesepuluh

---

Diberikan 5 abjad konsonan c, k, m, r, dan s serta 3 aksara vokal a, i, dan u. Dari abjad tersebut akan dibentuk suatu password yang terdiri atas 5 karakter dengan 3 karakter konsonan dan 2 aksara vokal berlawanan. Berapa banyak password yang terbentuk ?

Pembahasan

Banyak cara menentukan 3 dari 5 karakter konsonan :
C_(5,3) =

5! / (5-3)! . 3!

= 10

Banyak cara memilih 2 dari 3 karakter vokal :
C_(3,2) =

3! / (3-2)! . 2!

= 3

Banyak susunan 3 abjad konsonan dan 2 abjad vokal :
5! = 120

Maka , banyak password yang yang terbentuk yaitu :
10 × 3 × 120 = 3.600

Sumber https://www.kontensekolah.com/